O sistema associado a esta última matriz é: kx + 3y + 7z + 5w = 1; (k2 − 4)y + 2z = k − 8; z + w = 4; w = 2. Resolvendo o sistema por substituição reversa, obtemos das duas últimas equações que w = 2 e z = 2. Substituindo nas duas equações anteriores, resta o sistema: kx + 3y + 7z + 5w = −23; (k2 − 4)y = k − 12. Para poder continuar o processo de substituição reversa, precisamos supor que k 6= ±2. Fazendo isto, obtemos y = (k − 12)/(k2 − 4). Finalmente, para podermos obter o valor de x da primeira é preciso supor que k 6= 0. Fazendo, isto, x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k). Resta-nos analisar o que acontece quando k = ±2 e quando k = 0. Quando k = ±2, o sistema se torna ±2x + 3y + 7z + 5w = −23; 0 = ±2 − 12, que é claramente impossível. Por outro lado, quando k = 0, o sistema se torna 3y + 7z + 5w = −23; −4y = −12. Da segunda equação, obtemos y = 3. Substituindo este valor para y, assim como z = w = 2 na primeira equação, obtemos 3 · 3 + 7 · 2 + 5 · 2 = −23, que é obviamente falso, de modo que o sistema também é impossível quando k = 0. Resumindo tudo, temos que: • o sistema nunca é indeterminado; • o sistema é impossível quando k = 0 ou k = ±2; • o sistema é determinado quando k 6= 0,±2. Neste último caso, as soluções do sistema são dadas por x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k), y = (k − 12)/(k2 − 4), z = w = 2.

Question

O sistema associado a esta última matriz é: kx + 3y + 7z + 5w = 1; (k2 − 4)y + 2z = k − 8; z + w = 4; w = 2. Resolvendo o sistema por substituição ...

Ed · Answer

Vamos resolver o sistema passo a passo:

1. **Equações do sistema**:
   - $ kx + 3y + 7z + 5w = 1 $
   - $ (k^2 - 4)y + 2z = k - 8 $
   - $ z + w = 4 $
   - $ w = 2 $

2. **Substituindo $ w $**:
   - Da quarta equação, temos $ w = 2 $.
   - Substituindo em $ z + w = 4 $, obtemos $ z + 2 = 4 $ → $ z = 2 $.

3. **Substituindo $ z $ e $ w $** nas outras equações:
   - A primeira equação se torna:
     $$
     kx + 3y + 7(2) + 5(2) = 1 \implies kx + 3y + 14 + 10 = 1 \implies kx + 3y = -23
     $$
   - A segunda equação se torna:
     $$
     (k^2 - 4)y + 2(2) = k - 8 \implies (k^2 - 4)y + 4 = k - 8 \implies (k^2 - 4)y = k - 12
     $$

4. **Resolvendo para $ y $**:
   - Supondo $ k \neq \pm 2 $:
     $$
     y = \frac{k - 12}{k^2 - 4}
     $$

5. **Resolvendo para $ x $**:
   - Da equação $ kx + 3y = -23 $:
     $$
     kx = -23 - 3y \implies x = \frac{-47k^2 + 3k - 224}{k^3 - 4k}
     $$
   - Supondo $ k \neq 0 $.

6. **Análise dos casos**:
   - Quando $ k = \pm 2 $:
     - O sistema se torna impossível.
   - Quando $ k = 0 $:
     - O sistema também se torna impossível.

7. **Conclusão**:
   - O sistema nunca é indeterminado.
   - É impossível quando $ k = 0 $ ou $ k = \pm 2 $.
   - É determinado quando $ k \neq 0, \pm 2 $.

As soluções são:
- $ x = \frac{-47k^2 + 3k - 224}{k^3 - 4k} $
- $ y = \frac{k - 12}{k^2 - 4} $
- $ z = 2 $
- $ w = 2 $

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Álgebra Linear Algorítmica-Primeira Prova-20141

2. Dada a equação 2y² − 12xy − 7x² = 5, identifique a cônica correspondente e determine: (a) sua forma canônica; (b) a rotação que converte a equação dada em sua forma canônica.

2. Dada a equação 2y² − 12xy − 7x² = 5, identifique a cônica correspondente e determine: (a) sua forma canônica; (b) a rotação que converte a equação dada em sua forma canônica.

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