Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \)? A) 0 B) -\frac{25}{2} C) -\frac{5}{2} D) -12.5

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \), podemos usar a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \): \[ \cos(5x) \approx 1 - \frac{(5x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{25x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo na expressão do limite: \[ \cos(5x) - 1 \approx -\frac{25x^2}{2} \] Assim, temos: \[ \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \approx \frac{-\frac{25x^2}{2}}{x^2} = -\frac{25}{2} \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} = -\frac{25}{2} \] A alternativa correta é: B) -\frac{25}{2}.