Para calcular a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir: \(u = x^2 + 1\) Então, a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é: \(\frac{du}{dx} = 2x\) ou \(du = 2x\,dx\), o que implica que \(x\,dx = \frac{1}{2}du\). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\) - Correta. b) \(\ln(x^2 + 1) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{3} x^2 + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{x^2 + 1} + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).