Para a função \(f(x) = x^2 \sin(x)\), qual é a derivada? a) \(2x\sin(x) + x^2\cos(x)\) b) \(2x\cos(x)\) c) \(x^2 \cos(x)\) d) \(2x \sin(x) + x^2\)

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = x^2 \sin(x)\), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\), a derivada do produto é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Aqui, podemos considerar: - \(u(x) = x^2\) e \(v(x) = \sin(x)\). Calculando as derivadas: - \(u'(x) = 2x\) - \(v'(x) = \cos(x)\) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x)(\sin(x)) + (x^2)(\cos(x)) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \] Analisando as alternativas: a) \(2x\sin(x) + x^2\cos(x)\) - Correta. b) \(2x\cos(x)\) - Incorreta. c) \(x^2 \cos(x)\) - Incorreta. d) \(2x \sin(x) + x^2\) - Incorreta. A alternativa correta é: a) \(2x\sin(x) + x^2\cos(x)\).