Para resolver a integral \(\int x^3 \cos(x^2) \,dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \,dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Assim, \(x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot u\). Substituindo na integral, temos: \[ \int x^3 \cos(x^2) \,dx = \int x \cdot u \cos(u) \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int u \cos(u) \,du \] Agora, para resolver \(\int u \cos(u) \,du\), usamos a integração por partes, onde \(dv = \cos(u) \,du\) e \(v = \sin(u)\), e \(u = u\) e \(du = du\). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \cos(u) \,du = u \sin(u) - \int \sin(u) \,du = u \sin(u) + \cos(u) \] Portanto, temos: \[ \int u \cos(u) \,du = u \sin(u) + \cos(u) \] Substituindo de volta: \[ \frac{1}{2} \int u \cos(u) \,du = \frac{1}{2} (u \sin(u) + \cos(u)) = \frac{1}{2} (x^2 \sin(x^2) + \cos(x^2)) \] Por fim, não podemos esquecer da constante de integração \(C\). Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2}x^2 \sin(x^2) + C\) - Esta parte está correta, mas falta a parte da \(\cos(x^2)\). b) \(-\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\) - Não é a resposta correta. c) \(\frac{1}{4} \sin(x^2) + C\) - Não é a resposta correta. d) \(-\frac{1}{4} x^2 \sin(x^2) + C\) - Não é a resposta correta. A alternativa correta é a) \(\frac{1}{2}x^2 \sin(x^2) + C\).