Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \sin(x)}{x^3} \)? a) 0 b) \( \frac{1}{2} \) c) \( \frac{1}{3} \) d) Não existe

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \sin(x)}{x^3} \), vamos analisar a expressão. 1. Substituindo \( x = 0 \): \[ \frac{0^2 + \sin(0)}{0^3} = \frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0} \] Isso indica que precisamos usar uma abordagem diferente, como a regra de L'Hôpital ou uma expansão em série. 2. Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \): \[ \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Portanto, substituindo na expressão: \[ x^2 + \sin(x) \approx x^2 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = x + x^2 - \frac{x^3}{6} \] 3. Substituindo na fração: \[ \frac{x + x^2 - \frac{x^3}{6}}{x^3} \] Podemos dividir cada termo por \( x^3 \): \[ = \frac{x}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{6} \] 4. Analisando o limite: À medida que \( x \to 0 \), \( \frac{1}{x^2} \) e \( \frac{1}{x} \) tendem a infinito, então o limite não existe. Portanto, a resposta correta é: d) Não existe.