Qual é a integral de ∫ x^2 e^{x^3} dx? a) rac{1}{3} e^{x^3} + C b) e^{x^3} + C c) rac{1}{3} e^{x^3} + C d) rac{1}{3} x^3 e^{x^3} + C

Para resolver a integral \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir: \(u = x^3\) Então, a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é: \(\frac{du}{dx} = 3x^2\) Isso implica que: \(du = 3x^2 \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{3x^2}\) Substituindo na integral, temos: \[ \int x^2 e^{x^3} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} e^u + C \] Substituindo \(u\) de volta, obtemos: \[ \frac{1}{3} e^{x^3} + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\)