Determine o valor da integral integrate (10x)/(1 + 4x ^ 4) du from 0 to (sqrt(2))/2

Para resolver a integral \(\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{10x}{1 + 4x^4} \, dx\), podemos usar a substituição. 1. Substituição: Vamos usar a substituição \(u = 4x^4\). Assim, temos: \[ du = 16x^3 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{16x^3} \] E, como \(x^4 = \frac{u}{4}\), temos \(x = \left(\frac{u}{4}\right)^{1/4}\). 2. Limites de integração: Quando \(x = 0\), \(u = 0\). Quando \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ u = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = 4 \cdot \frac{2}{16} = \frac{1}{2} \] 3. Substituindo na integral: \[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{10\left(\frac{u}{4}\right)^{1/4}}{1 + u} \cdot \frac{du}{16\left(\frac{u}{4}\right)^{3/4}} = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16(1 + u)} \, du \] 4. Simplificando: \[ = \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16} \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 + u} \, du \] 5. Integral de \(\frac{1}{1 + u}\): \[ \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln(1 + u) \] 6. Calculando os limites: \[ = \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16} \left[ \ln(1 + u) \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16} \left( \ln\left(\frac{3}{2}\right) - \ln(1) \right) \] 7. Resultado final: \[ = \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16} \ln\left(\frac{3}{2}\right) \] Assim, o valor da integral é: \[ \frac{10 \cdot 4^{3/4}}{16} \ln\left(\frac{3}{2}\right) \] Se precisar de mais detalhes ou de uma simplificação, é só avisar!