Para determinar os valores de \( a \), \( b \) e \( c \) que fazem com que os pontos \( P(1,1) \), \( Q(2,2) \) e \( R(4,2) \) pertençam à função quadrática \( y = ax^2 + bx + c \), precisamos substituir as coordenadas dos pontos na equação e formar um sistema de equações. 1. Para o ponto \( P(1,1) \): \[ 1 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 1 \quad (1) \] 2. Para o ponto \( Q(2,2) \): \[ 2 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = 2 \quad (2) \] 3. Para o ponto \( R(4,2) \): \[ 2 = a(4)^2 + b(4) + c \implies 16a + 4b + c = 2 \quad (3) \] Agora, temos o seguinte sistema de equações: \[ \begin{cases} a + b + c = 1 \quad (1) \\ 4a + 2b + c = 2 \quad (2) \\ 16a + 4b + c = 2 \quad (3) \end{cases} \] Subtraindo a equação (1) da (2): \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 1 \implies 3a + b = 1 \quad (4) \] Subtraindo a equação (2) da (3): \[ (16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = 2 - 2 \implies 12a + 2b = 0 \implies 6a + b = 0 \quad (5) \] Agora, temos um novo sistema com as equações (4) e (5): \[ \begin{cases} 3a + b = 1 \quad (4) \\ 6a + b = 0 \quad (5) \end{cases} \] Subtraindo (5) de (4): \[ (3a + b) - (6a + b) = 1 - 0 \implies -3a = 1 \implies a = -\frac{1}{3} \] Substituindo \( a \) na equação (5): \[ 6(-\frac{1}{3}) + b = 0 \implies -2 + b = 0 \implies b = 2 \] Agora, substituindo \( a \) e \( b \) na equação (1): \[ -\frac{1}{3} + 2 + c = 1 \implies c = 1 - 2 + \frac{1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \] Portanto, temos: \[ a = -\frac{1}{3}, \quad b = 2, \quad c = -\frac{2}{3} \] A alternativa correta é: a) \( a = -\frac{1}{3}, b = 2, c = -\frac{2}{3} \).