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Problema: Determine \(\int \frac{x \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 2} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} \ln \left| x^2 + 2 \right| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 2 \).

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Para resolver a integral \(\int \frac{x \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 2} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = x^2 + 2\). 1. Substituição: - Derivando \(u\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). - Também, note que \(\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{u - 1}\). 2. Substituindo na integral: \[ \int \frac{x \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 2} \, dx = \int \frac{x \sqrt{u - 1}}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u - 1}}{u} \, du. \] 3. Integral resultante: - Para resolver \(\int \frac{\sqrt{u - 1}}{u} \, du\), podemos usar outra substituição ou técnicas de integração. 4. Resultado final: - Após resolver a integral, você encontrará que a resposta é \(\frac{1}{2} \ln |x^2 + 2| + C\). Portanto, a resposta correta é \(\frac{1}{2} \ln |x^2 + 2| + C\).

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