7) Considere f(x) = { x+ 3 se x ≥ 0, x2 se x < 0, g(x) = { 2x+ 1 se x ≥ 3, x se x < 3.} Calcule f ◦ g e g ◦ f.

Para calcular \( f \circ g \) e \( g \circ f \), precisamos entender como as funções \( f(x) \) e \( g(x) \) se comportam. 1. Função \( f(x) \): - \( f(x) = x + 3 \) se \( x \geq 0 \) - \( f(x) = x^2 \) se \( x < 0 \) 2. Função \( g(x) \): - \( g(x) = 2x + 1 \) se \( x \geq 3 \) - \( g(x) = x \) se \( x < 3 \) ### Cálculo de \( f \circ g \) Para \( f(g(x)) \): - Se \( x \geq 3 \): - \( g(x) = 2x + 1 \) (que é sempre \( \geq 0 \)) - \( f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1) + 3 = 2x + 4 \) - Se \( x < 3 \): - \( g(x) = x \) (que pode ser \( \geq 0 \) ou \( < 0 \)) - Se \( x \geq 0 \): \( f(g(x)) = f(x) = x + 3 \) - Se \( x < 0 \): \( f(g(x)) = f(x) = x^2 \) Portanto, \( f \circ g \) é: \[ f \circ g(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{se } x \geq 3 \\ x + 3 & \text{se } 0 \leq x < 3 \\ x^2 & \text{se } x < 0 \end{cases} \] ### Cálculo de \( g \circ f \) Para \( g(f(x)) \): - Se \( x \geq 0 \): - \( f(x) = x + 3 \) (que é sempre \( \geq 3 \)) - \( g(f(x)) = g(x + 3) = 2(x + 3) + 1 = 2x + 7 \) - Se \( x < 0 \): - \( f(x) = x^2 \) (que pode ser \( \geq 0 \)) - Se \( x^2 \geq 3 \): \( g(f(x)) = g(x^2) = 2x^2 + 1 \) - Se \( x^2 < 3 \): \( g(f(x)) = g(x^2) = x^2 \) Portanto, \( g \circ f \) é: \[ g \circ f(x) = \begin{cases} 2x + 7 & \text{se } x \geq 0 \\ 2x^2 + 1 & \text{se } x < -\sqrt{3} \\ x^2 & \text{se } -\sqrt{3} < x < 0 \end{cases} \] Esses são os resultados para \( f \circ g \) e \( g \circ f \)!