Vamos analisar cada uma das alternativas dadas as condições \( a \neq 0 \) e \( a < b < c \): A) \( a \cdot b < b \cdot c \) - Como \( a < b < c \), multiplicando ambos os lados da desigualdade \( a < b \) por \( b \) (positivo), temos \( a \cdot b < b \cdot c \). Esta alternativa é verdadeira. B) \( b - a < c - b \) - Rearranjando, temos \( b + b < c + a \) ou \( 2b < c + a \). Isso não é necessariamente verdadeiro, pois depende dos valores específicos de \( a, b \) e \( c \). C) \( \frac{b}{a} < \frac{c}{a} \) - Como \( a < b < c \) e \( a \neq 0 \), dividindo por \( a \) (positivo), a desigualdade se mantém. Esta alternativa é verdadeira. D) \( a \cdot b < a \cdot c \) - Como \( a < c \) e \( a \neq 0 \), multiplicando ambos os lados por \( a \) (positivo), a desigualdade se mantém. Esta alternativa é verdadeira. E) \( a + b < a + c \) - Como \( b < c \), somando \( a \) (que é um número real) em ambos os lados, a desigualdade se mantém. Esta alternativa é verdadeira. Portanto, as alternativas A, C, D e E são verdadeiras. No entanto, a questão pede para identificar uma que é "necessariamente verdadeira". A alternativa que é mais diretamente derivada das condições dadas e que se aplica a qualquer situação em que \( a < b < c \) é a E) \( a + b < a + c \). Assim, a resposta correta é: E) a + b < a + c.