Se ( ???? ! ) 2 = 18 ???? ! + 144 (n!) 2 =18n!+144, então ???? n é um quadrado perfeito.

Para resolver a equação \( (n!)^2 = 18n! + 144 \), podemos rearranjá-la: \[ (n!)^2 - 18n! - 144 = 0 \] Essa é uma equação quadrática em relação a \( n! \). Vamos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = -18 \) e \( c = -144 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 324 + 576 = 900 \] Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara: \[ n! = \frac{18 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{18 \pm 30}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( n! = \frac{48}{2} = 24 \) 2. \( n! = \frac{-12}{2} = -6 \) (não é válida, pois fatorial não pode ser negativo) Agora, sabemos que \( n! = 24 \). Os valores de \( n \) que satisfazem isso são \( n = 4 \) (já que \( 4! = 24 \)). Como \( n = 4 \) é um quadrado perfeito (\( 2^2 \)), a afirmação está correta. Portanto, \( n \) é um quadrado perfeito.