Problema 73: Resolva a equação diferencial \(y' = 5y\). A) \(y = Ce^{5x}\) B) \(y = Ce^{-5x}\) C) \(y = \frac{1}{C + 5x}\) D) \(y = C + 5x\)

Desafios para Aprender

há 11 meses

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Para resolver a equação diferencial \(y' = 5y\), podemos usar o método de separação de variáveis. 1. Reescrevemos a equação como \(\frac{dy}{dx} = 5y\). 2. Separando as variáveis, temos \(\frac{dy}{y} = 5dx\). 3. Integrando ambos os lados, obtemos \(\ln|y| = 5x + C\). 4. Exponenciando, temos \(y = e^{5x + C} = e^{5x} \cdot e^C\). 5. Definindo \(C' = e^C\), podemos escrever \(y = C'e^{5x}\), onde \(C' = C\) é uma constante. Portanto, a solução geral da equação diferencial é \(y = Ce^{5x}\). A alternativa correta é: A) \(y = Ce^{5x}\).

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ESTÁCIO

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Problema 68: Determine a integral \(\int \frac{1}{x^6 + 1} \, dx\).

A) \(\frac{1}{6} \tan^{-1}(x^2) + C\)
B) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x^2) + C\)
C) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C\)
D) \(\frac{1}{x^2} + C\)

Problema 69: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 4}{9x^2 + 1}\).

A) \(\frac{12}{9}\)
B) 0
C) 1
D) \(\frac{4}{9}\)

Problema 70: Resolva a equação \(y' + 6y = e^{-x}\).

A) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{7} e^{-x}\)
B) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{6} e^{-x}\)
C) \(y = Ce^{-6x} + e^{-x}\)
D) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{5} e^{-x}\)

Problema 71: Calcule a integral \(\int_0^1 (10x^4 - 9x^3 + 8x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{10}{15}\)
C) \(\frac{1}{3}\)
D) \(\frac{2}{15}\)

Problema 72: Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\).

A) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^5 + 1}\)
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Problema 74: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x)}{x}\).

A) 9
B) 0
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D) Não existe

Problema 75: Calcule a integral \(\int_0^1 (11x^4 - 10x^3 + 9x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{11}{15}\)
C) \(\frac{1}{3}\)
D) \(\frac{2}{15}\)

Problema 76: Determine a integral \(\int \frac{1}{x^8 + 1} \, dx\).

A) \(\frac{1}{8} \tan^{-1}(x^4) + C\)
B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x^4) + C\)
C) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^4) + C\)
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Cálculo

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A) \(\frac{14}{11}\)

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