Determine a integral indefinida $ \int (7x^6 - 4x^2 + 1) \, dx $.a) $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $b) $ \frac{7}{7}x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $c) $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + C $d) $ x^7 - 4x^3 + x + C $

Question

Determine a integral indefinida $ \int (7x^6 - 4x^2 + 1) \, dx $.

a) $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $
b) \( \frac{7}{7}x^7 - \frac{4}{3}x^3 + ...

Ed · Answer

Para resolver a integral indefinida $ \int (7x^6 - 4x^2 + 1) \, dx $, vamos integrar cada termo separadamente:

1. **Integral de $ 7x^6 $**:
   $$
   \int 7x^6 \, dx = 7 \cdot \frac{x^{7}}{7} = x^7
   $$

2. **Integral de $ -4x^2 $**:
   $$
   \int -4x^2 \, dx = -4 \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{4}{3}x^3
   $$

3. **Integral de $ 1 $**:
   $$
   \int 1 \, dx = x
   $$

Agora, juntando tudo, temos:
$$
\int (7x^6 - 4x^2 + 1) \, dx = x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C
$$

Analisando as alternativas:

a) $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $ - Correta.

b) $ \frac{7}{7}x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $ - Equivalente a $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $, mas não é a forma mais simples.

c) $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + C $ - Falta o termo $ x $.

d) $ x^7 - 4x^3 + x + C $ - O coeficiente de $ x^3 $ está errado.

Portanto, a alternativa correta é: **a)** $ x^7 - \frac{4}{3}x^3 + x + C $.

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