Vamos analisar cada uma das alternativas em relação à expressão \( n = n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1) \): a) a expressão \( n \) é divisível por 2 para todo \( n \geq 1 \): - A expressão \( n \cdot (n + 1) \) sempre será par, pois um dos dois fatores (ou \( n \) ou \( n + 1 \)) é sempre par. Portanto, essa afirmativa é verdadeira. b) a expressão \( n \) é divisível por 3 para todo \( n \geq 1 \): - Para \( n = 1 \), temos \( 1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \), que é divisível por 3. Para \( n = 2 \), temos \( 2 \cdot (2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \), que também é divisível por 3. No entanto, não podemos garantir que para todos os \( n \) a expressão será divisível por 3. Portanto, essa afirmativa pode ser falsa. c) a expressão \( n \) é divisível por 2 e por 3 para todo \( n \geq 1 \): - Como a afirmativa b) pode ser falsa, essa também é falsa. d) a expressão \( n \) é divisível por 5 para todo \( n \geq 2: - Para \( n = 2 \), temos \( 2 \cdot (2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \), que é divisível por 5. Para \( n = 3 \), temos \( 3 \cdot (3 + 1) \cdot (2 \cdot 3 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \), que não é divisível por 5. Portanto, essa afirmativa também pode ser falsa. Analisando as opções, a única afirmativa que pode ser considerada falsa para todos os \( n \geq 1 \) é a b), pois não podemos garantir que a expressão é divisível por 3 para todos os inteiros. Portanto, a única afirmativa falsa é: b) a expressão \( n \) é divisível por 3 para todo \( n \geq 1.