Qual é o valor de \\lim_{x \to 0} \\frac{\\ln(1 + 3x)}{x}? A) 0 B) 1 C) 3 D) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada de \( \ln(1 + 3x) \) é \( \frac{3}{1 + 3x} \). - Derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1 + 3x} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \frac{3}{1 + 3(0)} = \frac{3}{1} = 3 \] Portanto, o valor do limite é \( 3 \). A alternativa correta é: C) 3.