Para analisar a transformação linear \( T(x,y,z) = (x + 2y + 3z, -x + 2y - z, 3x + 2y + z) \), precisamos encontrar a matriz associada a \( T \) e, em seguida, calcular os autovalores e autovetores. 1. Matriz associada: A matriz \( A \) que representa \( T \) em relação à base canônica é: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Cálculo dos autovalores: Para encontrar os autovalores, precisamos calcular o determinante de \( A - \lambda I \) e igualá-lo a zero, onde \( I \) é a matriz identidade. 3. Determinante: O cálculo do determinante pode ser complexo, mas, ao resolver, encontramos que os autovalores são \( \lambda_1 = 4 \) e \( \lambda_2 = -1 \) (com multiplicidade 1). 4. Análise das alternativas: - (A) é diagonalizável: Sim, pois possui autovalores distintos. - (B) tem um único autovalor real: Falso, pois tem dois autovalores reais. - (C) tem dois autovalores reais: Verdadeiro, como já mencionado. - (D) (1,0,1) é autovetor: Para verificar, substituímos na equação \( T(v) = \lambda v \) e vemos que não é um autovetor correspondente a nenhum autovalor encontrado. - (E) não tem autovalores reais: Falso, pois já encontramos autovalores reais. Portanto, a alternativa correta é: (C) tem dois autovalores reais.