Qual é o valor de \( \sin(2\theta) \) se \( \tan(\theta) = 1 \)? A) \( 1 \) B) \( 0 \) C) \( \frac{1}{2} \) D) \( \sqrt{2} \)

Para resolver a questão, vamos usar a relação entre as funções trigonométricas. Sabemos que \( \tan(\theta) = 1 \) implica que \( \theta = 45^\circ \) ou \( \theta = \frac{\pi}{4} \) radianos, pois a tangente é igual a 1 nesses ângulos. Agora, podemos usar a fórmula do seno do ângulo duplo: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] Para \( \theta = 45^\circ \): \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{e} \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Substituindo na fórmula: \[ \sin(2\theta) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 \] Portanto, o valor de \( \sin(2\theta) \) é \( 1 \). A alternativa correta é: A) \( 1 \).