Qual é o valor de \( \cos(2\theta) \) se \( \sin(\theta) = \frac{1}{4} \)? A) \( \frac{15}{16} \) B) \( \frac{7}{16} \) C) \( \frac{9}{16} \)

Para encontrar o valor de \( \cos(2\theta) \) dado que \( \sin(\theta) = \frac{1}{4} \), podemos usar a identidade: \[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \] Primeiro, calculamos \( \sin^2(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Agora, substituímos na fórmula: \[ \cos(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{16}\right) = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \] Agora, precisamos encontrar \( \cos^2(\theta) \) para confirmar: Sabemos que \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \): \[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] Agora, usando a identidade alternativa: \[ \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \] Substituindo \( \cos^2(\theta) \): \[ \cos(2\theta) = 2\left(\frac{15}{16}\right) - 1 = \frac{30}{16} - \frac{16}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \] Parece que houve um erro na interpretação. Vamos verificar as opções: A) \( \frac{15}{16} \) B) \( \frac{7}{16} \) C) \( \frac{9}{16} \) Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!