Para determinar \( \sin(2\theta) \) dado que \( \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \) e \( \theta \) está no segundo quadrante, podemos usar a fórmula de duplicação do seno: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] Primeiro, precisamos encontrar \( \sin(\theta) \). Sabemos que: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituindo \( \cos(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(\theta) + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Como \( \theta \) está no segundo quadrante, \( \sin(\theta) \) é positivo: \[ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Agora, substituímos \( \sin(\theta) \) e \( \cos(\theta) \) na fórmula de \( \sin(2\theta) \): \[ \sin(2\theta) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot -\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Portanto, a resposta correta é: B) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)