Determine \( 1 + \text{tan}^2(x) \). a) \( \text{sec}^2(x) \) b) \( \text{csc}^2(x) \) c) \( \text{cos}^2(x) \) d) \( \text{sin}^2(x) \)

Para resolver a expressão \( 1 + \text{tan}^2(x) \), podemos usar a identidade trigonométrica fundamental: \[ 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \text{sec}^2(x) \) - Esta é a resposta correta, pois corresponde à identidade que acabamos de mencionar. b) \( \text{csc}^2(x) \) - Esta é a função recíproca do seno, não se relaciona com a expressão dada. c) \( \text{cos}^2(x) \) - Esta é a função cosseno ao quadrado, que também não se relaciona. d) \( \text{sin}^2(x) \) - Esta é a função seno ao quadrado, que não é a resposta correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \text{sec}^2(x) \).