Calcule \( \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx \).

Para calcular a integral \( \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx \), podemos usar a identidade de redução ou a fórmula de potência. Vamos usar a identidade: \[ \cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) \cdot (1 - \sin^2(x)) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx - \int_{0}^{\pi} \cos(x) \sin^2(x) \, dx \] A primeira parte, \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \), é igual a zero, pois a função \(\cos(x)\) é simétrica em relação a \(x = \frac{\pi}{2}\). Agora, para a segunda parte, podemos usar a substituição \(u = \sin(x)\), onde \(du = \cos(x) \, dx\). Os limites de integração mudam de \(0\) a \(0\) (quando \(x = 0\) e \(x = \pi\), \(\sin(x)\) vai de \(0\) a \(0\)). Portanto, essa integral também resulta em zero. Assim, temos: \[ \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx = 0 - 0 = 0 \] Portanto, o resultado da integral é: \[ \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx = 0 \]