Sendo M e N duas matrizes quadradas de ordem 3, com det M = 4 e det (3N) = 243, então det (M . N) é igual a: a) 4 b) 9 c) 12 d) 27 e) 36

Para resolver a questão, precisamos usar algumas propriedades dos determinantes. 1. Sabemos que \( \text{det}(M) = 4 \). 2. Para a matriz \( N \), temos \( \text{det}(3N) = 243 \). A propriedade dos determinantes nos diz que \( \text{det}(kN) = k^n \cdot \text{det}(N) \), onde \( n \) é a ordem da matriz. Como \( N \) é uma matriz 3x3, temos: \[ \text{det}(3N) = 3^3 \cdot \text{det}(N) = 27 \cdot \text{det}(N) \] Portanto, podemos igualar: \[ 27 \cdot \text{det}(N) = 243 \] Dividindo ambos os lados por 27, obtemos: \[ \text{det}(N) = \frac{243}{27} = 9 \] 3. Agora, para encontrar \( \text{det}(M \cdot N) \), usamos a propriedade que diz que \( \text{det}(M \cdot N) = \text{det}(M) \cdot \text{det}(N) \): \[ \text{det}(M \cdot N) = \text{det}(M) \cdot \text{det}(N) = 4 \cdot 9 = 36 \] Portanto, a resposta correta é: e) 36.