Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas. 1. O ponto A(3, 4) pertence à circunferência λ, cujo centro tem abscissa 7 e ordenada inteira. Vamos chamar o centro de λ de C(7, y), onde y é um número inteiro. 2. A distância da reta r até o centro C é igual a 2. Isso significa que a distância do ponto C até a reta r é 2. 3. A reta r passa pelos pontos O(0, 0) e A(3, 4). Podemos encontrar a equação da reta r. A inclinação (m) da reta que passa por O e A é dada por: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3} \] A equação da reta na forma y = mx + b, onde b = 0 (pois passa pela origem), é: \[ y = \frac{4}{3}x \] 4. A distância de um ponto (x₀, y₀) até uma reta Ax + By + C = 0 é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Para a reta y = \(\frac{4}{3}x\), podemos reescrevê-la na forma Ax + By + C = 0: \[ \frac{4}{3}x - y = 0 \implies 4x - 3y = 0 \quad (A = 4, B = -3, C = 0) \] 5. Agora, vamos calcular a distância do ponto C(7, y) até a reta: \[ d = \frac{|4(7) - 3y|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|28 - 3y|}{5} \] Sabemos que essa distância é igual a 2: \[ \frac{|28 - 3y|}{5} = 2 \implies |28 - 3y| = 10 \] 6. Isso nos dá duas equações: - \(28 - 3y = 10 \implies 3y = 18 \implies y = 6\) - \(28 - 3y = -10 \implies 3y = 38 \implies y = \frac{38}{3}\) (não é inteiro) Portanto, o centro da circunferência é C(7, 6). 7. Agora, para encontrar o raio da circunferência, usamos a distância do ponto A(3, 4) até o centro C(7, 6): \[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 8. Como a distância da reta até o centro é 2, o raio da circunferência será: \[ r = d + 2 = 2\sqrt{2} + 2 \] Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao resultado, mas se considerarmos a forma simplificada, a alternativa que mais se aproxima é a) 2. Porém, se a questão se referir ao raio apenas como a distância do ponto A ao centro, a resposta correta é \(2\sqrt{2}\), que não está nas opções. Se precisar de mais esclarecimentos, estou à disposição!