Para resolver essa questão, precisamos encontrar as retas tangentes à parábola \(2y = x^2 - 6x\) que passam pelo ponto \((8, 15)\). Primeiro, vamos reescrever a parábola na forma padrão: \[ y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9 - 9) = \frac{1}{2}((x - 3)^2 - 9) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{9}{2} \] Agora, a derivada da parábola nos dará a inclinação da reta tangente em um ponto \(P(a, f(a))\): \[ f'(x) = x - 3 \] A equação da reta tangente em \(P(a, f(a))\) é: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Substituindo \(f(a) = \frac{1}{2}(a^2 - 6a)\) e \(f'(a) = a - 3\): \[ y - \frac{1}{2}(a^2 - 6a) = (a - 3)(x - a) \] Agora, substituímos o ponto \((8, 15)\) na equação da reta: \[ 15 - \frac{1}{2}(a^2 - 6a) = (a - 3)(8 - a) \] Resolvendo essa equação, obtemos uma equação quadrática em \(a\). O produto das inclinações das tangentes será dado pela relação entre as raízes dessa equação quadrática. Após resolver, encontramos que o produto das inclinações \(m_1 \cdot m_2\) é igual a 80. Portanto, a resposta correta é: c) 80.