4. Mostre que o quadrado de todo inteiro ímpar é da forma 8k + 1.

Para mostrar que o quadrado de todo inteiro ímpar é da forma \(8k + 1\), vamos considerar um inteiro ímpar genérico. Um inteiro ímpar pode ser escrito como: \[ n = 2m + 1 \] onde \( m \) é um inteiro. Agora, vamos calcular o quadrado de \( n \): \[ n^2 = (2m + 1)^2 \] Expandindo a expressão: \[ n^2 = 4m^2 + 4m + 1 \] Podemos fatorar a parte \( 4m^2 + 4m \): \[ n^2 = 4m(m + 1) + 1 \] Note que \( m(m + 1) \) é sempre um número inteiro, pois é o produto de dois inteiros consecutivos. Portanto, podemos escrever: \[ n^2 = 8k + 1 \] onde \( k = \frac{m(m + 1)}{2} \). Como \( m(m + 1) \) é sempre par, \( k \) é um inteiro. Assim, concluímos que o quadrado de todo inteiro ímpar é da forma \( 8k + 1 \).