6. Determine todos os restos possíveis de um quadrado perfeito por 5, 6, 7 e 9. (Obs. Um quadrado perfeito é um número da forma a2 com a ∈ Z.)

Para determinar todos os restos possíveis de um quadrado perfeito \( a^2 \) por 5, 6, 7 e 9, vamos analisar cada caso: 1. Por 5: - Os restos possíveis de \( a \) por 5 são: 0, 1, 2, 3, 4. - Calculando \( a^2 \) para cada um: - \( 0^2 \mod 5 = 0 \) - \( 1^2 \mod 5 = 1 \) - \( 2^2 \mod 5 = 4 \) - \( 3^2 \mod 5 = 4 \) - \( 4^2 \mod 5 = 1 \) - Restos possíveis: 0, 1, 4. 2. Por 6: - Os restos possíveis de \( a \) por 6 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5. - Calculando \( a^2 \) para cada um: - \( 0^2 \mod 6 = 0 \) - \( 1^2 \mod 6 = 1 \) - \( 2^2 \mod 6 = 4 \) - \( 3^2 \mod 6 = 3 \) - \( 4^2 \mod 6 = 4 \) - \( 5^2 \mod 6 = 1 \) - Restos possíveis: 0, 1, 3, 4. 3. Por 7: - Os restos possíveis de \( a \) por 7 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Calculando \( a^2 \) para cada um: - \( 0^2 \mod 7 = 0 \) - \( 1^2 \mod 7 = 1 \) - \( 2^2 \mod 7 = 4 \) - \( 3^2 \mod 7 = 2 \) - \( 4^2 \mod 7 = 2 \) - \( 5^2 \mod 7 = 4 \) - \( 6^2 \mod 7 = 1 \) - Restos possíveis: 0, 1, 2, 4. 4. Por 9: - Os restos possíveis de \( a \) por 9 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. - Calculando \( a^2 \) para cada um: - \( 0^2 \mod 9 = 0 \) - \( 1^2 \mod 9 = 1 \) - \( 2^2 \mod 9 = 4 \) - \( 3^2 \mod 9 = 0 \) - \( 4^2 \mod 9 = 7 \) - \( 5^2 \mod 9 = 7 \) - \( 6^2 \mod 9 = 0 \) - \( 7^2 \mod 9 = 4 \) - \( 8^2 \mod 9 = 1 \) - Restos possíveis: 0, 1, 4, 7. Resumindo: - Por 5: 0, 1, 4 - Por 6: 0, 1, 3, 4 - Por 7: 0, 1, 2, 4 - Por 9: 0, 1, 4, 7