7. Mostre que, para todo inteiro positivo m, o número m3 −m é divisível por 6.

Para mostrar que \( m^3 - m \) é divisível por 6 para todo inteiro positivo \( m \), podemos fatorar a expressão: \[ m^3 - m = m(m^2 - 1) = m(m - 1)(m + 1) \] Agora, observe que \( m(m - 1)(m + 1) \) é o produto de três números consecutivos. 1. Divisibilidade por 2: Entre três números consecutivos, pelo menos um deles é par, logo \( m(m - 1)(m + 1) \) é divisível por 2. 2. Divisibilidade por 3: Entre três números consecutivos, pelo menos um deles é múltiplo de 3, logo \( m(m - 1)(m + 1) \) é divisível por 3. Como \( m(m - 1)(m + 1) \) é divisível por 2 e por 3, podemos concluir que é divisível por \( 2 \times 3 = 6 \). Portanto, \( m^3 - m \) é divisível por 6 para todo inteiro positivo \( m \).