Para resolver a equação \( \sqrt{1 + mx} = x + \sqrt{1 - mx} \), vamos seguir os passos: 1. Isolar a raiz: Começamos isolando uma das raízes. Vamos mover \( x \) para o lado esquerdo: \[ \sqrt{1 + mx} - x = \sqrt{1 - mx} \] 2. Elevar ao quadrado: Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: \[ ( \sqrt{1 + mx} - x )^2 = ( \sqrt{1 - mx} )^2 \] Isso resulta em: \[ 1 + mx - 2x\sqrt{1 + mx} + x^2 = 1 - mx \] 3. Simplificar: Cancelamos o 1 de ambos os lados e reorganizamos: \[ mx + mx + x^2 - 2x\sqrt{1 + mx} = 0 \] Ou seja: \[ x^2 + 2mx - 2x\sqrt{1 + mx} = 0 \] 4. Isolar a raiz novamente: \[ 2x\sqrt{1 + mx} = x^2 + 2mx \] Dividindo ambos os lados por \( 2x \) (considerando \( x \neq 0 \)): \[ \sqrt{1 + mx} = \frac{x + 2m}{2} \] 5. Elevar ao quadrado novamente: \[ 1 + mx = \left(\frac{x + 2m}{2}\right)^2 \] Isso resulta em: \[ 1 + mx = \frac{x^2 + 4mx + 4m^2}{4} \] 6. Multiplicar por 4 para eliminar a fração: \[ 4 + 4mx = x^2 + 4mx + 4m^2 \] 7. Reorganizar: \[ x^2 + 4m^2 - 4 = 0 \] 8. Encontrar as raízes: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \( a = 1 \), \( b = 0 \), e \( c = 4m^2 - 4 \): \[ x = \frac{\pm \sqrt{0 - 4(1)(4m^2 - 4)}}{2(1)} = \frac{\pm \sqrt{16 - 16m^2}}{2} \] \[ x = \pm 2\sqrt{1 - m^2} \] 9. Condições para soluções não nulas: Para que \( x \) seja não nulo, precisamos que \( 1 - m^2 > 0 \), ou seja: \[ m^2 < 1 \implies -1 < m < 1 \] Portanto, a solução da equação em função do parâmetro \( m \) é \( x = \pm 2\sqrt{1 - m^2} \) e os valores de \( m \) para os quais a equação admite solução não nula são \( m \in (-1, 1) \).