Grátis: Classifique o sistema de equações lineares ⎧⎪⎨⎪⎩ x − y + z = 3 x + y + z = 7 x + 2y − z = 7 Impossível Possível e determinado com ( x, y , z ) = (...

Álgebra Linear

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Classifique o sistema de equações lineares ⎧⎪⎨⎪⎩ x − y + z = 3 x + y + z = 7 x + 2y − z = 7

Impossível
Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 2 ,2 , 1 )
Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 4 ,2 , 1 )
Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( k, 2 , 2 - k), k real
Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( k, 1 , 3 - k), k real

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Prova AV- Álgebra Linear

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Para classificar o sistema de equações lineares: \[ \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + y + z = 7 \\ x + 2y - z = 7 \end{cases} \] Vamos resolver o sistema. 1. Substituição e eliminação: - Da primeira equação, podemos expressar \( z \) em termos de \( x \) e \( y \): \[ z = 3 + y - x \] 2. Substituindo \( z \) nas outras equações: - Substituindo na segunda equação: \[ x + y + (3 + y - x) = 7 \implies 2y + 3 = 7 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \] - Agora, substituindo \( y = 2 \) na expressão de \( z \): \[ z = 3 + 2 - x \implies z = 5 - x \] - Substituindo \( y = 2 \) e \( z = 5 - x \) na terceira equação: \[ x + 2(2) - (5 - x) = 7 \implies x + 4 - 5 + x = 7 \implies 2x - 1 = 7 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \] - Agora, substituindo \( x = 4 \) para encontrar \( z \): \[ z = 5 - 4 = 1 \] 3. Solução encontrada: - Portanto, a solução é \( (x, y, z) = (4, 2, 1) \). Classificação do sistema: O sistema é possível e determinado com a solução \( (x, y, z) = (4, 2, 1) \).

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Seja a matriz M, quadrada de ordem 2, definida por {mij = i + j quando i = j e mij = 2i - j quando i ≠ j}.

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Um estudante de matemática está aprendendo sobre propriedades da matriz inversa e sua relação com a multiplicação de matrizes. Ele formula a seguinte questão para testar seus conhecimentos: Dadas as matrizes A e B, em que A é uma matriz quadrada invertível de ordem n e B é uma matriz qualquer de ordem n x m, assinale a alternativa correta:
Se A e B são matrizes inversas, então a matriz resultante da multiplicação A x B é a matriz identidade.
A matriz resultante da multiplicação A x B é igual à matriz identidade.
A matriz resultante da multiplicação A x B não possui inversa.
Se A e B possuem inversas, então a matriz resultante da multiplicação A x B também possui inversa.
A matriz resultante da multiplicação A x B possui inversa

Uma empresa de engenharia está construindo três pontes, denominadas Ponte A, Ponte B e Ponte C, em uma cidade. Eles têm registros das quantidades de materiais utilizados em cada ponte, que podem ser representados por matrizes. Seja a matriz P com as quantidades de materiais da Ponte A, a matriz Q com as quantidades de materiais da Ponte B e a matriz R com as quantidades de materiais da Ponte C. A matriz resultante do produto das matrizes P, Q e R, nessa ordem, é dada por:

Seja uma matriz A quadrada, triangular inferior com traço igual a 14 e de ordem 3. Sabe-se que para i > j, e que A11 = 2a22 = 4a33. Seja a matriz B, oposta a matriz A, determine o valor da soma de b13 + b22 + b31.

A) -4
B) -2
C) 2
D) 4
E) -6

Em um sistema de equações lineares, o método da eliminação de Gauss-Jordan é utilizado para encontrar as soluções. Considerando essa técnica, assinale a alternativa correta:
O método da eliminação de Gauss-Jordan não é aplicável a sistemas lineares com coeficientes complexos.
O método da eliminação de Gauss-Jordan é restrito apenas a sistemas lineares com três equações.
O método da eliminação de Gauss-Jordan é utilizado exclusivamente para sistemas lineares homogêneos.
O método da eliminação de Gauss-Jordan é um método iterativo que requer várias iterações para obter a solução final.
O método da eliminação de Gauss-Jordan transforma o sistema em uma forma escalonada reduzida, facilitando a identificação das soluções.

Durante uma aula, o professor introduz o conceito de autovalores e autovetores em relação a transformações lineares e matrizes, destacando sua relevância em diversos campos, como ciência de dados e engenharia. Considerando o conceito de autovalores e autovetores, qual das seguintes alternativas corretamente caracteriza um autovetor em relação a uma matriz ou transformação linear?

Um autovetor é um vetor que, ao ser multiplicado por uma matriz, resulta nele mesmo vezes um número real, chamado de autovalor.
Um autovetor é um vetor que, ao ser somado com uma matriz, resulta em um vetor nulo.
Um autovetor é um vetor que, ao ser dividido por uma matriz, resulta em uma matriz identidade.
Um autovetor é um vetor que, ao ser multiplicado por uma matriz, resulta em uma matriz diagonal.
Um autovetor é o vetor que resulta da multiplicação de uma matriz por ele mesmo.

Aplica-se em quadrado centrado na origem, com lados paralelos aos eixos e de lado 4, uma transformação linear T: R² → R² tal que T(u, v) = (x − y, x + y). Marque a alternativa que apresenta a imagem do quadrado após a sua transformação por T.

Um retângulo de eixos paralelos aos eixos x e y.
Um quadrado de lado 4 rotacionado 30°, no sentido anti-horário, em relação ao original.
Um quadrado de lado 2 rotacionado 30°, no sentido anti-horário, em relação ao original.
Um quadrado de lado 4 rotacionado 60°, no sentido anti-horário, em relação ao original.
Um quadrado de lado 2 rotacionado 60°, no sentido anti-horário, em relação ao original.

Em um sistema linear homogêneo, todas as equações lineares têm seus termos independentes igual a zero. Sendo assim, é correto afirmar que: A Um sistema linear homogêneo pode ter solução trivial ou infinitas soluções. B Um sistema linear homogêneo nunca possui solução. C Um sistema linear homogêneo tem solução única, exceto quando todas as variáveis são iguais a zero. D Um sistema linear homogêneo sempre possui solução não trivial. E Um sistema linear homogêneo possui uma única solução para cada variável.

A multiplicação de matrizes é uma operação fundamental na álgebra linear, com diversas aplicações em ciência, engenharia, computação e outras áreas. Dadas as matrizes A e B, calcule o valor do det(A ⋅ B): A = [ 2 5; 1 3 ], B = [ 1 2; 1 1 ].

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Seja a matriz M, quadrada de ordem 2, definida por {mij = i + j quando i = j e mij = 2i - j quando i ≠ j}.Calcule o determinante da matriz M:20 25 8 16 5

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