Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função \( f(x, y) = 3 + xy - x - 2y \) no conjunto \( D \), que é a região triangular fechada com vértices (1, 0), (5, 0) e (1, 4), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os pontos críticos: Para isso, calculamos as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \) e \( y \) e igualamos a zero. \[ f_x = y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \] \[ f_y = x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] O ponto crítico é \( (2, 1) \). 2. Verificar se o ponto crítico está dentro da região \( D \): O ponto \( (2, 1) \) está dentro do triângulo formado pelos vértices dados. 3. Avaliar a função nos vértices do triângulo: - Para \( (1, 0) \): \[ f(1, 0) = 3 + 1 \cdot 0 - 1 - 2 \cdot 0 = 3 - 1 = 2 \] - Para \( (5, 0) \): \[ f(5, 0) = 3 + 5 \cdot 0 - 5 - 2 \cdot 0 = 3 - 5 = -2 \] - Para \( (1, 4) \): \[ f(1, 4) = 3 + 1 \cdot 4 - 1 - 2 \cdot 4 = 3 + 4 - 1 - 8 = -2 \] 4. Avaliar a função no ponto crítico \( (2, 1) \): \[ f(2, 1) = 3 + 2 \cdot 1 - 2 - 2 \cdot 1 = 3 + 2 - 2 - 2 = 1 \] 5. Comparar os valores: - \( f(1, 0) = 2 \) - \( f(5, 0) = -2 \) - \( f(1, 4) = -2 \) - \( f(2, 1) = 1 \) Portanto, os valores máximo e mínimo absolutos de \( f \) no conjunto \( D \) são: - Máximo absoluto: \( 2 \) (em \( (1, 0) \)) - Mínimo absoluto: \( -2 \) (em \( (5, 0) \) e \( (1, 4) \)) Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!