Grátis: Mostre que f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2 tem um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo loca...

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Mostre que f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2 tem um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local e absoluto em cada ponto crítico.

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Cálculo 2 Solução da Lista - máximos e mínimos

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Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g?

a) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 1
b) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 2, gyy(0, 2) = −8
c) gxx(0, 2) = 4, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 9

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.

a) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy − 2x− y.

c) f(x, y) = xy − 2x− y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.

d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy + 1/x + 1/y.

e) f(x, y) = xy + 1/x + 1/y

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. a) f(x, y) = 3 + xy − x− 2y, D é a região triangular fechada com vértices (1, 0), (5, 0) e (1, 4).

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Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g?

a) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 1
b) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 2, gyy(0, 2) = −8
c) gxx(0, 2) = 4, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 9

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.

a) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy − 2x− y.

c) f(x, y) = xy − 2x− y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.

d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy + 1/x + 1/y.

e) f(x, y) = xy + 1/x + 1/y

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. a) f(x, y) = 3 + xy − x− 2y, D é a região triangular fechada com vértices (1, 0), (5, 0) e (1, 4).

Questão 5 Determine a menor distância entre o ponto (2, 1,−1) e o plano x+ y − z = 1.

Questão 6 Determine os pontos da superfície y2 = 9 + xz que estão mais próximos da origem.

Questão 7 Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

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Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g?a) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 1b) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 2, gyy(0, 2) = −8c) gxx(0, 2) = 4, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 9

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.a) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy − 2x− y.c) f(x, y) = xy − 2x− y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy + 1/x + 1/y.e) f(x, y) = xy + 1/x + 1/y

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. a) f(x, y) = 3 + xy − x− 2y, D é a região triangular fechada com vértices (1, 0), (5, 0) e (1, 4).

Questão 5 Determine a menor distância entre o ponto (2, 1,−1) e o plano x+ y − z = 1.

Questão 6 Determine os pontos da superfície y2 = 9 + xz que estão mais próximos da origem.

Questão 7 Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

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a) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 1
b) gxx(0, 2) = −1, gxy(0, 2) = 2, gyy(0, 2) = −8
c) gxx(0, 2) = 4, gxy(0, 2) = 6, gyy(0, 2) = 9

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.

a) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy − 2x− y.

c) f(x, y) = xy − 2x− y

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.

d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy + 1/x + 1/y.

e) f(x, y) = xy + 1/x + 1/y