Calcule a integral definida $\int_0^1 (2x^4 - x^3 + 1) \, dx$.

A) \frac{8}{15}
B) \frac{7}{15}
C) \frac{9}{15}
D) \frac{10}{15}

Question

Calcule a integral definida $\int_0^1 (2x^4 - x^3 + 1) \, dx$.

A) \frac{8}{15}
B) \frac{7}{15}
C) \frac{9}{15}
D) \frac{10}{15}

Ed · Answer

Para calcular a integral definida $\int_0^1 (2x^4 - x^3 + 1) \, dx$, vamos primeiro encontrar a antiderivada da função $2x^4 - x^3 + 1$.

1. A antiderivada de $2x^4$ é $\frac{2}{5}x^5$.
2. A antiderivada de $-x^3$ é $-\frac{1}{4}x^4$.
3. A antiderivada de $1$ é $x$.

Assim, a antiderivada completa é:
$$
F(x) = \frac{2}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 + x
$$

Agora, vamos calcular $F(1)$ e $F(0)$:

- $F(1) = \frac{2}{5}(1)^5 - \frac{1}{4}(1)^4 + (1) = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} + 1$
- Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 5 e 4 é 20:
  - $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$
  - $-\frac{1}{4} = -\frac{5}{20}$
  - $1 = \frac{20}{20}$

Portanto:
$$
F(1) = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} + \frac{20}{20} = \frac{8 - 5 + 20}{20} = \frac{23}{20}
$$

Agora, calculamos $F(0)$:
$$
F(0) = \frac{2}{5}(0)^5 - \frac{1}{4}(0)^4 + (0) = 0
$$

Finalmente, a integral definida é:
$$
\int_0^1 (2x^4 - x^3 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{23}{20} - 0 = \frac{23}{20}
$$

No entanto, parece que não temos essa opção nas alternativas. Vamos verificar as opções novamente:

A) $\frac{8}{15}$  
B) $\frac{7}{15}$  
C) $\frac{9}{15}$  
D) $\frac{10}{15}$

Parece que houve um erro no cálculo ou nas opções. A integral correta não está entre as alternativas fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.

Cálculo

Calcule a integral definida \(\int_0^1 (2x^4 - x^3 + 1) \, dx\). A) \frac{8}{15} B) \frac{7}{15} C) \frac{9}{15} D) \frac{10}{15}

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Problema 5: Calcule o determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).

A) \( -2 \)
B) \( 10 \)
C) \( 5 \)
D) \( 1 \)

Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{4x^2 - 5} \).

a) \( \frac{3}{4} \)
b) \( \infty \)
c) \( 0 \)
d) 1

Calcule a integral \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\) usando substituição.

A) \frac{1}{3} e^{x^3} + C
B) \frac{1}{2} e^{x^3} + C
C) \frac{1}{4} e^{x^3} + C
D) \frac{1}{3} x^3 e^{x^3} + C

Determine a solução da equação \(y' + y = 2e^{2x}\).

A) y = Ce^{-x} + e^{2x}
B) y = Ce^{-x} - e^{2x}
C) y = Ce^{-x} + 2e^{2x}
D) y = Ce^{-x} + e^{-2x}

Calcule a integral definida \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \).

A) \( 2 \)
B) \( \frac{11}{3} \)
C) \( 1 \)
D) \( \frac{5}{3} \)

Determine o limite \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(3x)}.

a) 0
b) 1
c) \infty
d) Não existe

Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) para \(p=2\).

A) Diverge
B) Converge
C) Converge para 1
D) Diverge para infinito

30. Calcule o determinante da matriz B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

a) -2
b) -1
c) 0
d) 2

Determine a solução da equação \(y' - 3y = 5\).

A) y = Ce^{3x} + \frac{5}{3}
B) y = Ce^{-3x} + \frac{5}{3}
C) y = Ce^{3x} - \frac{5}{3}

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Determine o limite \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(3x)}.a) 0b) 1c) \inftyd) Não existe

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