Para mostrar que as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas para as funções \( u = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) \) e \( v = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \), precisamos calcular as derivadas parciais de \( u \) e \( v \). 1. Cálculo das derivadas parciais de \( u \): \[ u = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) \] - Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + y^2} \] - Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{y}{x^2 + y^2} \] 2. Cálculo das derivadas parciais de \( v \): \[ v = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \] - Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2} \] - Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \] 3. Verificação das equações de Cauchy-Riemann: - Primeira equação: \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) \[ \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} \quad \text{(verdadeira)} \] - Segunda equação: \( \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \) \[ \frac{-y}{x^2 + y^2} = -\frac{y}{x^2 + y^2} \quad \text{(verdadeira)} \] Como ambas as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas, concluímos que \( u \) e \( v \) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.