Para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante \( t = 2 \), precisamos usar a regra da cadeia. A temperatura \( z(t) \) é dada por \( z(t) = T(t^2 + 1, 3t) \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( T \): 1. Derivada em relação a \( x \): \( T_x(5, 6) = 4 \) 2. Derivada em relação a \( y \): \( T_y(5, 6) = -2 \) Agora, precisamos encontrar as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \): - \( x(t) = t^2 + 1 \) - \( \frac{dx}{dt} = 2t \) - \( y(t) = 3t \) - \( \frac{dy}{dt} = 3 \) Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar \( \frac{dz}{dt} \): \[ \frac{dz}{dt} = T_x \frac{dx}{dt} + T_y \frac{dy}{dt} \] Substituindo os valores: \[ \frac{dz}{dt} = T_x(5, 6) \cdot \frac{dx}{dt} + T_y(5, 6) \cdot \frac{dy}{dt} \] Substituindo os valores conhecidos: \[ \frac{dz}{dt} = 4 \cdot (2t) + (-2) \cdot 3 \] Agora, substituímos \( t = 2 \): \[ \frac{dz}{dt} = 4 \cdot (2 \cdot 2) + (-2) \cdot 3 \] \[ \frac{dz}{dt} = 4 \cdot 4 - 6 \] \[ \frac{dz}{dt} = 16 - 6 = 10 \] Portanto, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante \( t = 2 \) é \( 10 \) graus por unidade de tempo.