Cálculo

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Mostre que as funções (a) f(x, y) = ln(x2 + y2) (b) f(x, y) = ex seny + ey cos x satisfazem a equação de Laplace em R2: ∂2f / ∂x2 + ∂2f / ∂y2 = 0.

Aprendendo com Desafios

há 11 meses

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C2 Lista de Exercícios sobre Limites, derivadas, gradiente

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UFPA

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Ed

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Calcule o limite dado: (a) lim (x,y)→(2,3) (3x2 + xy − 2y2)

Calcule lim (x,y)→(0,0) f(x, y): (a) f(x, y) = x2y + xy2 / x2 + y2

O índice de sensação térmica W é a temperatura que se sente quando a temperatura real for T e a rapidez do vento v, portanto, podemos escrever W = f(T, v). A tabela abaixo representa uma situação alguns valores de W : T \ v 20 30 40 50 60 70 -10 -18 -20 -21 -22 -23 -23 -15 -24 -26 -27 -29 -30 -30 -20 -30 -33 -34 -35 -36 -37 -25 -37 -39 -41 -42 -43 -44 (a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais são as interpretações práticas destes valores?

Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem: (a) f(x, y) = 4y3 + √(x2 + y2)

Ache as derivadas parciais indicadas. (a) f(x, y) = e2xseny ; fxx, fxy, fyx, fyy

Se u, v são funções diferenciáveis de x e y, então as equações ∂u / ∂x = ∂v / ∂y e ∂v / ∂x = −∂u / ∂y são chamadas equações de Cauchy-Riemann. (a) Mostre que as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas se u = 1/2 ln(x2+y2) e v = tg−1(y / x).

(b) Suponha que u, v são funções diferenciáveis de x e y, onde suas derivadas parciais primeira e segunda sejam contínuas. Prove que se u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, então u e v são harmônicas.

Use a Regra da Cadeia para calcular a derivada parcial indicada: (a) u = x2 + xy; x = r2 + s2; y = 3r − 2s; ∂u / ∂r ; ∂u / ∂s

A temperatura de T (x, y) graus centígrados em cada ponto (x, y) de uma chapa constituída de metal não varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em (x, y) = (t2 +1, 3t) no instante t. Assim, a temperatura em cada instante é z(t) = T (t2 + 1, 3t). A temperatura tem as propriedades: T (5, 6) = 40, Tx(5, 6) = 4, Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao tempo no instante t = 2?