Para resolver essa questão, precisamos calcular a soma de Riemann para a função \( f(x, y) = 1 - zy^2 \) sobre o retângulo \( R = [0, 4] \times [-1, 2] \) utilizando os pontos de amostragem nos cantos superiores esquerdos dos retângulos. 1. Divisão do retângulo: O retângulo \( R \) é dividido em \( m = 2 \) partes na direção \( x \) e \( n = 3 \) partes na direção \( y \). Isso significa que: - Para \( x \): \( [0, 4] \) dividido em 2 partes resulta em intervalos de \( 2 \) (ou seja, \( [0, 2] \) e \( [2, 4] \)). - Para \( y \): \( [-1, 2] \) dividido em 3 partes resulta em intervalos de \( 1 \) (ou seja, \( [-1, 0] \), \( [0, 1] \) e \( [1, 2] \)). 2. Cantos superiores esquerdos: Os pontos de amostragem nos cantos superiores esquerdos dos retângulos são: - Para \( x = 0 \): \( y = 0 \) (ponto \( (0, 0) \)) - Para \( x = 0 \): \( y = 1 \) (ponto \( (0, 1) \)) - Para \( x = 2 \): \( y = 0 \) (ponto \( (2, 0) \)) - Para \( x = 2 \): \( y = 1 \) (ponto \( (2, 1) \)) - Para \( x = 2 \): \( y = 2 \) (ponto \( (2, 2) \)) - Para \( x = 4 \): \( y = 1 \) (ponto \( (4, 1) \)) 3. Cálculo da função: Agora, precisamos calcular \( f(x, y) = 1 - zy^2 \) para cada um desses pontos. Como não foi dado um valor específico para \( z \), vamos considerar \( z = 1 \) para simplificar: - \( f(0, 0) = 1 - 1(0^2) = 1 \) - \( f(0, 1) = 1 - 1(1^2) = 0 \) - \( f(2, 0) = 1 - 1(0^2) = 1 \) - \( f(2, 1) = 1 - 1(1^2) = 0 \) - \( f(2, 2) = 1 - 1(2^2) = -3 \) - \( f(4, 1) = 1 - 1(1^2) = 0 \) 4. Soma das contribuições: Agora, somamos as contribuições das áreas: - Para cada retângulo, a área é \( \Delta x \cdot \Delta y \). Aqui, \( \Delta x = 2 \) e \( \Delta y = 1 \), então a área de cada retângulo é \( 2 \cdot 1 = 2 \). - A soma total será: - Para \( (0, 0) \): \( 1 \cdot 2 = 2 \) - Para \( (0, 1) \): \( 0 \cdot 2 = 0 \) - Para \( (2, 0) \): \( 1 \cdot 2 = 2 \) - Para \( (2, 1) \): \( 0 \cdot 2 = 0 \) - Para \( (2, 2) \): \( -3 \cdot 2 = -6 \) - Para \( (4, 1) \): \( 0 \cdot 2 = 0 \) 5. Resultado final: Somando todas as contribuições: \[ 2 + 0 + 2 + 0 - 6 + 0 = -2 \] No entanto, como não temos um valor exato para \( z \), e considerando que a questão pode ter um erro de interpretação, vamos analisar as alternativas: A) 4 B) 12 C) -12 D) -8 A soma que encontramos não corresponde a nenhuma das alternativas. Portanto, parece que houve um erro na interpretação ou nos valores. Se considerarmos \( z = -1 \) para a função, o resultado pode mudar. Por favor, verifique se há mais informações sobre o valor de \( z \) ou se a função precisa ser ajustada. Se não, você pode criar uma nova pergunta.