CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1.1 Funções de duas o mais variáveis
1. Calcule o valor da função f(x, y) = x + yx³ em cada ponto (2, 2) , (-1 , 4) , (6 ½ ). 
B. f(2, 2) = 18 f(- 1 , 4) = -5 f( 6, ½) = 114 
2. Esboce o domínio da função f(x, y) = 4x – 7y. A. x≠4 B. 
E. O domínio é todo o plano xy.
3. A interseção de um plano P com um plano coordenado, ou um plano paralelo a um plano coordenado, é denominada traço. Para encontra-lo, basta substituir a variável em questão por 0, no caso de considerar os planos coordenados, ou por uma constante no caso de um plano paralelo aos planos coordenados. Assim, encontre os traços horizontal e vertical do plano de equação 12 – 3x – 4y = z, considerando planos paralelos aos eixos coordenados. 
B. Traço horizontal: 3x + 4y = 12 – c Traço vertical: z = 12 – 3a – 4yez = - 3x + 12 – 4a
4. Descreva o domínio da função f(x, y, z) = √(9- x2- y2- z2). Analise a resposta CORRETA. 
A. ｛(x,y,z) / x2 + y2+z2≤9｝
5. Determine o valor da função f(x, y, z) = xyz-2 em cada um dos pontos: (3, 8, 2) e (3, -2, -6). 
D. f(3, 8, 2) = 6 f(3, -2, - 6) = -1/6 (RESPOSTA CERTA: 46 e 34)
1.2 Derivação e integração complexa
1. Dada a função f(z)=1/z, com z ≠​​​​​​​ 0. Qual o valor de f′(z)? 
D. -1/z²
2. calcule a derivada da função polinomial p(z)=a0+a1z+a²2z+a³3z
3. calcule a preimeira derivada da função fz = 2z³ + 3iz² + (1 + 2i)z + (3 + 4i)
4. Calcule a integral da função f(z) = z2 ao longo do caminho C da função:
z(t) = t + 12t, t [0,2]
5. Calcule a integral: fc 1/z dz Ao longo do caminho C, onde:
A. πi
2.1 Integração em várias variáveis
1. As integrais iteradas são um método para calcular as integrais duplas de f (x , y), ou seja, é possível transformar o cálculo de uma integral dupla em duas integrais de uma variável.
2. A noção de integral definida de função de uma variável pode ser estendida para funções de várias variáveis. Diversas situações requerem integrar em mais de uma variável, como, por exemplo, no cálculo de áreas, volumes, campos de velocidades e deslocamentos.
A. 27
3. ​​​​A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste, na maioria dos casos, em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente solúvel. Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples.
E. 236/5.
4. É comum fazer uso de fórmulas de redução para possibilitar a decomposição de uma integral múltipla como um produto de integrais simples. Estas têm de ser resolvidas da direita para a esquerda, considerando as outras variáveis constantes.
D. 112/3
5. Quando trabalhamos com integrais duplas, é importante atentar à sua estrutura. Se na mais interna delas tivermos o intervalo de x, é necessário integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Observe:
E. 24
2.2 Integração em várias variáveis II
1. Antes de calcular uma integral tripla, é importante identificar o seu domínio, que pode ser uma região retangular ou uma região mais geral. Considere:
Utilizando o Teorema de Fubini, o valor da integral
E. 6
2. No cálculo das integrais triplas, utilizamos o teorema de Fubini para transformá-las em uma integral iterada. Nesse caso, devemos calcular três integrais simples. Nesse contexto, considere
O valor da integral intermediária em relação à variável z é:
C. X/4 – X³/4
3. Assim como nas integrais duplas, nas integrais triplas é importante reconhecer o domínio de integração, que pode tanto ser uma região retangular R no R³ quanto uma região não retangular W. Nesse contexto, considere
e a região não retangular 
Calcule o valor da integral: 
D. 1/6
4. Em problemas aplicados, nem sempre os sólidos envolvidos têm volumes que podem ser calculados por fórmulas conhecidas. Nesses casos, as integrais triplas são muito úteis para o cálculo de volumes de sólidos delimitados por funções. Marque a alternativa que contém o volume do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x + 6y + 4z = 12.
B. 4(u.v.).
5. O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) em um sólido W é definido por
Assim, o valor médio de f(x,y,z) = x no tetraedro mostrado na figura abaixo é:
A. 1/4
3.1 Cálculo das integrais múltiplas
1. Utilize a integral tripla para determinar o volume do sólido que tem as seguintes coordenadas:
0<x<1; 0<y<x²; 0<z<x+y²
C. 25/84
2. Resolva a integral f0 1f-1 2 xy² dy dx
D. 3/2
3. Calcule ff xdA, onde R é a área da região limitada por y=2xe y=x².
A. 4/3 
4. Determine a área entre a parábola e a reta a seguir,​​​​
sabendo que: D = (x,y) e R²: -3<x<4 e 2 – x/2<y<8 – x²/2
C. 343/12
5. Calcule a integral f0 3 f-1 2 f0 1 xyz² dxdydz
B. 27/4
3.2 Integrais duplas em regiões mais gerais 
1. Calcule as somas de Riemann para f(x,y) = x - y e o domínio D da figura abaixo, escolhendo os pontos como pontos amostrais e marque a alternativa que contém a aproximação da integral de f em D.
A. -3. 
2. As integrais múltiplas são utilizadas para calcular muitas quantidades importantes, tais como volumes, áreas de superfície, centros de massa, entre outros. Suponha que uma lâmina na forma da região delimitada por y = x-1 e y = 0 ao longo de 1 ≤ x ≤ 4 tem densidade de massa ρ (x,y) = y/x. Marque a alternativa que contem a massa total da lâmina.
C. 15/64. 
3. Seja D o domínio definido por 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 4 – x2. Marque a alternativa que contém o resultado da integral
ffD ydA. 
D. 20/3.
4. Em alguns cálculos envolvendo integrais duplas, é necessário esboçar o domínio D e trocar a ordem de integração para que tenhamos uma integral iterada que sabemos calcular. Considere a integral 
f01fx1 xe^y² dydx , troque a ordem de integração e marque a alternativa que contém o valor da integral. ​​​​​​​ 
E. e-1/6 
5. Considere a região D representada na figura abaixo.
Marque a alternativa que contém o valor da integral dupla f(x,y) = sen(y)/y na região D dada na figura.
B. cos(1) - cos(2). 
4.1 Teorema de Fubini
1. Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e inferiormente pelo retângulo R=[0,1]x[0,2]. 
C. 86/3
2. Calcule a integral dupla de z = 6y2 - 2x sobre a região R dada pelo conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. 
A. 14 
3. Calcule a integral dupla de z = 100 - 6x2y, no retângulo R=[0,2]x[-1,1]. 
C. 400
4. Encontre o volume da região delimitada pela função z = x2 + y2 e por R=[-1,1]x[-1,1]. 
E. 8/3
5. Encontre o volume da região delimitada por z = 2 – x – y e pelo retângulo dado pelo conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. 
E. 1
4.2 Formula integral de cauchy
1. Qual o valor de f{y} 1/z-2dz onde y=e^it , 0<t>2 π ? 
B. −12 -1/2 
2. Qual o valor de f{y} 1/z-2dz onde y=2 + e^it , 0<t>2 π ? 
A. 12 1/2 
3. Dado um contorno fechado y = |z-i|=1, qual o valor de f{y} z²/z² + 2iz + 3dz ?
D. 18 π 1/8 π 
4. Dado um contorno fechado y = |z|=4, qual o valor de f{y} 2z/z² - 1dz ?
A. -2πi 
5. Seja y um contorno que envolve a origem. A integral f{y}1/z² dz tendo f(z)=1 e z0=0, é:
A. 0
5.1 Limites e continuidade em várias variáveis
1. Calcule o limite: lim(x,y)(1,2) (x²+y)
B. 3
2. Calcule o limite ou determine que não existe lim(x,y)(0,1) (x/y)
A. 0
3. Determine o limite se for o caso ou conclua que ele não existe lim(x,y)(1,1) e^xy In(1+xy)
B. e In 2
4. Calcule lim(x,y)(2,5) (f(x,y)+ 4g (x,y)) supondo que lim(x,y)(2,5) (f(x,y) = 3 e lim(x,y)(2,5) g(x,y) = 7
D. 31
5. Calcule lim(z,w)(-1,2) (z²w – 9z)
E. 11
5.2 Diferenciabilidade, aproximação linear e planos tangentes
1. Considerando os conhecimentos adquiridos em relação aos planos tangentes, observe a figura a seguir e assinale a alternativa correta:
D. O plano z = L(x,y) é o único plano que contém as retas tangentes aos dois traços verticais por P.
2. Em relação às derivadas parciais de funções de várias variáveis, é correto afirmar que: 
C. quando fixadas todas as variáveis independentes de uma função, menos uma, e derivadasem relação a essa variável, você terá uma derivada parcial. 
3. Calcule fy (2,3,1) em que f(x,y,z) = xyz e assinale a alternativa correta:
B. fy (2,3,1) = 2.
4. Sabendo que o volume do cone circular reto de raio r e altura h é dado por f(r,h) = π/3 r²h , calcule as derivadas parciais e assinale a alternativa correta:
E. af/ar = 2/3 πrh e af/ah = π/3 r²
5. Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = x3+y2-6x2+y-1 e assinale a alterativa correta:
B. af/ax = 3x² - 12x e af/ay = 2y + 1
6.1 Limites trigonométricos
1. Verifique se o limite limx-0 sen(3x)/sem(4x) existe. Caso exista, qual o seu valor?
A. 3/4
2.Anilise o comportamento da função limx-0 x cot(5x)
E. 1/5
3. Determine o valor do limx-0 sem(sem(x))/x
A 1
4. Verifique o limite limx-0 sem(s)sem(1/x)
A. 0
5. Verifique a existência e o valor, caso exista, do limite limx- sem(x)/x
A. 0
6.2 Substituição trigonométrica
1. Calcule a seguinte integral: f√4 – x² dx
2. Calcule a seguinte integral f√x² + 2x + 2 dx
3. Calcule a seguinte integral: f√3 – x² + 2x dx
4. Qual o valor da integral: f√ dx/x²√x² - 25
5. Calcule a seguinte integral: f√2x² + 8 dx