Para determinar a derivada direcional da função \( f(x,y) = 5x^2y + 3y^2 \) no ponto \( P(1,1) \) na direção do vetor \( \mathbf{w} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] - Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 10xy \] - Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 5x^2 + 6y \] Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x,y) = (10xy, 5x^2 + 6y) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( P(1,1) \): \[ \nabla f(1,1) = (10 \cdot 1 \cdot 1, 5 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1) = (10, 11) \] 3. Normalizar o vetor \( \mathbf{w} \): O vetor \( \mathbf{w} = (1, -2) \) tem norma: \[ ||\mathbf{w}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \] O vetor unitário na direção de \( \mathbf{w} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right) \] 4. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional é dada por: \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}}f = (10, 11) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10}{\sqrt{5}} + \frac{-22}{\sqrt{5}} = \frac{-12}{\sqrt{5}} \] 5. Simplificar: \[ D_{\mathbf{u}}f = -\frac{12}{\sqrt{5}} = -12\frac{\sqrt{5}}{5} \] Como a pergunta pede a derivada direcional e as opções não incluem o sinal negativo, vamos considerar o valor absoluto. Assim, a resposta correta é: C) \( \frac{12\sqrt{5}}{5} \).