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Pergunta 1 Copiar de Computadores são bastante úteis em situações da nossa vida, e isso não é diferente quando falamos de matemática. Em diversas situações, utilizamos computadores para realizar cálculos que seriam muito extensos para serem feitos à mão. No entanto, nesses casos, trabalhamos com aproximações de funções. Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ex no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2 a. e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket b. e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma infinity right square bracket c. fraction numerator 1 over denominator 6 e to the power of x end fraction space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket d. e to the power of x space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket e. e to the power of 3 x end exponent over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u comma space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket
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josecarlos_santos

há 11 meses

Respostas

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há 11 meses

Para determinar o erro ao usar o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função \( f(x) = e^x \) no ponto \( x = 2,02 \) com referência ao ponto \( a = 2 \), precisamos considerar a forma do erro na aproximação de Taylor. O erro de Taylor de ordem \( n \) é dado pela fórmula: \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \] onde \( c \) está entre \( a \) e \( x \). Para a função \( f(x) = e^x \), todas as derivadas são \( e^x \), e o erro de ordem 2 será: \[ R_2(x) = \frac{e^c}{6}(x-2)^3 \] Para \( x = 2,02 \), temos \( (2,02 - 2)^3 = 0,02^3 = 0,000008 \). Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{e^x}{6} (0,000008) \) para \( x \in [2, 2.02] \) - Esta opção parece correta, pois considera o erro e o intervalo adequado. b) \( \frac{e^x}{6} (0,000008) \) para \( x \in [2, \infty] \) - O intervalo está incorreto, pois não se limita a \( [2, 2.02] \). c) \( \frac{1}{6} e^x (0,000008) \) para \( x \in [2, 2.02] \) - Esta opção não está correta, pois falta a base \( e^x \) na forma correta. d) \( e^x (0,000008) \) para \( x \in [2, 2.02] \) - Esta opção não considera o fator \( \frac{1}{6} \). e) \( \frac{e^{3x}}{6} (0,000008) \) para \( x \in [2, 2.02] \) - Esta opção está incorreta, pois usa \( e^{3x} \) em vez de \( e^x \). Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{e^x}{6} (0,000008) \) para \( x \in [2, 2.02] \).

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