Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de: f left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space square root of x squared plus y squared end root Opção A fx(x,y) = x(x2 + y2) e fy(x,y) = y(x2 + y2) Opção B f subscript x left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space fraction numerator x over denominator square root of x squared plus y squared end root end fraction space space e space space f subscript y left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space fraction numerator y over denominator square root of x squared plus y squared end root end fraction Opção C fx(x,y) = x(x2) e fy(x,y) = y(y2) Opção D f subscript x left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space fraction numerator left parenthesis x squared plus y squared right parenthesis over denominator x end fraction space space e space space f subscript y left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space fraction numerator left parenthesis x squared plus y squared right parenthesis over denominator y end fraction Opção E fx(x,y) = 2x(x2 + y2) e fy(x,y) = 2y(x2 + y2)

Question

Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de:  ﻿f left parenthesis x comma y right parenthesis space equals space square root of x...

Ed · Answer

Para encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} $, precisamos aplicar a regra da cadeia.

1. **Derivada parcial em relação a $ x $**:
   $$
   f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
   $$

2. **Derivada parcial em relação a $ y $**:
   $$
   f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
   $$

Agora, vamos analisar as opções:

- **Opção A**: $ f_x(x,y) = x(x^2 + y^2) $ e $ f_y(x,y) = y(x^2 + y^2) $ - Incorreto.
- **Opção B**: $ f_x(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ e $ f_y(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ - Correto.
- **Opção C**: $ f_x(x,y) = x(x^2) $ e $ f_y(x,y) = y(y^2) $ - Incorreto.
- **Opção D**: $ f_x(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{x} $ e $ f_y(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{y} $ - Incorreto.
- **Opção E**: $ f_x(x,y) = 2x(x^2 + y^2) $ e $ f_y(x,y) = 2y(x^2 + y^2) $ - Incorreto.

Portanto, a alternativa correta é: **Opção B**.

Cálculo Vetorial

Respostas

Ainda com dúvidas?

Mais conteúdos dessa disciplina