Para aplicar o método de Newton-Raphson na função \( f(x) = \sin(x) + x^3 - 8 \), siga os passos abaixo: 1. Defina a função e sua derivada: - \( f(x) = \sin(x) + x^3 - 8 \) - \( f'(x) = \cos(x) + 3x^2 \) 2. Escolha o ponto inicial: - \( x_0 = 1,5 \) 3. Aplique a fórmula do método de Newton-Raphson: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 4. Calcule as iterações até que o erro seja menor que 0,001: - Iteração 1: - \( f(1,5) = \sin(1,5) + (1,5)^3 - 8 \approx -5,125 \) - \( f'(1,5) = \cos(1,5) + 3(1,5)^2 \approx 6,375 \) - \( x_1 = 1,5 - \frac{-5,125}{6,375} \approx 1,5 + 0,802 = 2,302 \) - Iteração 2: - \( f(2,302) = \sin(2,302) + (2,302)^3 - 8 \approx 0,679 \) - \( f'(2,302) = \cos(2,302) + 3(2,302)^2 \approx 15,052 \) - \( x_2 = 2,302 - \frac{0,679}{15,052} \approx 2,302 - 0,045 = 2,257 \) - Iteração 3: - \( f(2,257) \approx 0,034 \) - \( f'(2,257) \approx 14,646 \) - \( x_3 = 2,257 - \frac{0,034}{14,646} \approx 2,257 - 0,002 = 2,255 \) - Iteração 4: - Continue esse processo até que a diferença entre \( x_n \) e \( x_{n+1} \) seja menor que 0,001. Após algumas iterações, você encontrará que o zero da função é aproximadamente: \[ x \approx 1,918380 \] Esse é o valor que você está buscando!