calcule a integral ∫(lnx2 dx

Para calcular a integral \(\int \ln(x^2) \, dx\), podemos simplificar a função logarítmica primeiro: \[ \ln(x^2) = 2 \ln(x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int \ln(x^2) \, dx = \int 2 \ln(x) \, dx = 2 \int \ln(x) \, dx \] Agora, para calcular \(\int \ln(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = dx\) \(\Rightarrow v = x\) Aplicando a fórmula: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x + C \] Substituindo de volta na integral original: \[ 2 \int \ln(x) \, dx = 2 \left( x \ln(x) - x + C \right) = 2x \ln(x) - 2x + C \] Portanto, a integral \(\int \ln(x^2) \, dx\) é: \[ \int \ln(x^2) \, dx = 2x \ln(x) - 2x + C \] onde \(C\) é a constante de integração.