Determine o valor da integral Jfs 2e da dy, com S - {(x, y) E R2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1e 0 ≤ y ≤ x}

Para determinar o valor da integral \( J = \iint_S 2e^y \, dy \, dx \), onde \( S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq y \leq 1 \} \), precisamos primeiro entender os limites de integração. A região \( S \) é definida por \( 0 \leq x \leq y \leq 1 \). Isso significa que para cada valor de \( y \) que varia de 0 a 1, \( x \) varia de 0 até \( y \). Assim, podemos escrever a integral como: \[ J = \int_0^1 \int_0^y 2e^y \, dx \, dy \] Agora, vamos calcular a integral interna: \[ \int_0^y 2e^y \, dx = 2e^y \cdot x \bigg|_0^y = 2e^y \cdot y \] Substituindo isso na integral externa, temos: \[ J = \int_0^1 2y e^y \, dy \] Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes. Seja \( u = 2y \) e \( dv = e^y \, dy \). Então, \( du = 2 \, dy \) e \( v = e^y \). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Temos: \[ \int 2y e^y \, dy = 2y e^y - \int 2 e^y \, dy \] Calculando a integral restante: \[ \int 2 e^y \, dy = 2 e^y \] Portanto: \[ \int 2y e^y \, dy = 2y e^y - 2 e^y \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ 2y e^y - 2 e^y \right]_0^1 = \left( 2 \cdot 1 \cdot e^1 - 2 e^1 \right) - \left( 2 \cdot 0 \cdot e^0 - 2 e^0 \right) \] Isso simplifica para: \[ (2e - 2e) - (0 - 2) = 0 + 2 = 2 \] Portanto, o valor da integral \( J \) é: \[ \boxed{2} \]