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49. Determine a fórmula geral para a soma dos primeiros \( n \) termos de uma progressão
aritmética.
Resolução: A fórmula é \( \frac{n}{2} \left(2a + (n - 1)d\right) \).
50. Resolva a equação \( e^{2x} = 7 \).
Resolução: A solução é \( x = \frac{1}{2} \ln(7) \).
51. Calcule o valor de \( \int_{0}^{2\pi} \cos^2(x) \, dx \).
Resolução: Usando identidades trigonométricas, o valor é \( \pi \).
52. Encontre a equação da circunferência com centro \( (1, -2) \) e raio 3.
Resolução: A equação é \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \).
53. Resolva a equação \( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = 0 \).
Resolução: A solução é \( x = 0 \).
54. Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} (x^3 - x^2) \, dx \).
Resolução: A integral é \( \frac{1}{12} \).
55. Determine a fórmula do termo geral da sequência \( 2, 6, 12, 20, \ldots \).
Resolução: O termo geral é \( a_n = n^2 + n \).
56. Encontre o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).
Resolução: O determinante é 11.
57. Resolva a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \).
Resolução: A solução é \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \).
58. Calcule a integral \( \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx \).
Resolução: O valor é \( \frac{1}{8} \).
59. Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} \).
Resolução: A soma é \( \frac{\pi^4}{90} \).
60. Resolva o sistema:
\[
\begin{cases}
x + y = 3 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
Resolução: As soluções são \( x = 2 \) e \( y = 1 \).
61. Encontre a integral de \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} \, dx \).
Resolução: A integral diverge.
62. Calcule a área de um triângulo com vértices em \( (0, 0) \), \( (2, 0) \) e \( (1, 2) \).
Resolução: A área é 2.
63. Resolva a equação \( x^4 - 16 = 0 \).
Resolução: As raízes são \( \pm 2 \) e \( \pm 2i \).
64. Determine o valor de \( \int_{0}^{2} x \ln(x) \, dx \).
Resolução: O valor é 2.
65. Encontre a equação da parábola com vértice em \( (0, 0) \) e foco em \( (0, 1) \).
Resolução: A equação é \( y^2 = 4x \).
66. Resolva a equação \( \frac{3x + 5}{x - 2} = 7 \).
Resolução: A solução é \( x = 3 \).Mais conteúdos dessa disciplina
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