Quatro superfícies de esfera, com mesmo raio, são tangentes entre si. Mostre que seus centros são vértices de um tetraedro regular.

Para mostrar que os centros das quatro superfícies de esfera, com o mesmo raio, que são tangentes entre si formam os vértices de um tetraedro regular, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição das Esferas: Considere quatro esferas \( S_1, S_2, S_3 \) e \( S_4 \) com centros \( O_1, O_2, O_3 \) e \( O_4 \), respectivamente, e todas com o mesmo raio \( r \). 2. Condição de Tangência: Como as esferas são tangentes entre si, a distância entre os centros de quaisquer duas esferas é igual a \( 2r \). Isso significa que: - \( O_1O_2 = 2r \) - \( O_1O_3 = 2r \) - \( O_1O_4 = 2r \) - \( O_2O_3 = 2r \) - \( O_2O_4 = 2r \) - \( O_3O_4 = 2r \) 3. Propriedades do Tetraedro Regular: Um tetraedro regular possui quatro vértices, e a distância entre quaisquer dois vértices é a mesma. Se conseguirmos mostrar que a distância entre todos os pares de centros \( O_1, O_2, O_3 \) e \( O_4 \) é igual a \( 2r \), então os centros formam um tetraedro regular. 4. Verificação das Distâncias: Como já estabelecido, todas as distâncias entre os centros das esferas são iguais a \( 2r \). Portanto, temos: - \( O_1O_2 = O_1O_3 = O_1O_4 = O_2O_3 = O_2O_4 = O_3O_4 = 2r \) 5. Conclusão: Como todas as distâncias entre os centros das esferas são iguais, podemos concluir que os pontos \( O_1, O_2, O_3 \) e \( O_4 \) são os vértices de um tetraedro regular. Assim, demonstramos que os centros das quatro superfícies de esfera tangentes entre si formam os vértices de um tetraedro regular.