Para encontrar a reta tangente ao folium \(x^3 + y^3 = 2xy\) no ponto \((1, 1)\), vamos usar a diferenciação implícita. 1. Diferenciação Implícita: Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(2xy) \] Aplicando a regra da cadeia na parte de \(y\): \[ 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) \] 2. Reorganizando a Equação: Agora, vamos reorganizar a equação para isolar \(\frac{dy}{dx}\): \[ 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 2y + 2x\frac{dy}{dx} \] \[ 3y^2 \frac{dy}{dx} - 2x\frac{dy}{dx} = 2y - 3x^2 \] \[ \frac{dy}{dx}(3y^2 - 2x) = 2y - 3x^2 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2y - 3x^2}{3y^2 - 2x} \] 3. Substituindo o Ponto (1, 1): Agora, substituímos \(x = 1\) e \(y = 1\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2(1) - 3(1)^2}{3(1)^2 - 2(1)} = \frac{2 - 3}{3 - 2} = \frac{-1}{1} = -1 \] 4. Equação da Reta Tangente: A inclinação da reta tangente no ponto \((1, 1)\) é \(-1\). Usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Onde \(m = -1\) e \((x_0, y_0) = (1, 1)\): \[ y - 1 = -1(x - 1) \] Simplificando: \[ y - 1 = -x + 1 \] \[ y = -x + 2 \] Portanto, a equação da reta tangente ao folium \(x^3 + y^3 = 2xy\) no ponto \((1, 1)\) é: \[ y = -x + 2 \]