Vamos resolver a questão em duas partes: a primeira sobre a variância e a segunda sobre a probabilidade das moedas. ### Parte 1: Variância do Tempo Se o tempo para completar a tarefa \(T\) tem uma média \(E(T)\) e uma variância \(\operatorname{Var}(T)\), e a empresa deseja reduzir o tempo pela metade, a nova variável aleatória será \(T' = \frac{T}{2}\). A variância de uma variável aleatória \(X\) multiplicada por uma constante \(c\) é dada por: \[ \operatorname{Var}(cX) = c^2 \operatorname{Var}(X) \] Portanto, para \(T' = \frac{T}{2}\): \[ \operatorname{Var}(T') = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \operatorname{Var}(T) = \frac{1}{4} \operatorname{Var}(T) \] ### Parte 2: Probabilidade de Duas Caras Agora, vamos calcular a probabilidade de obter duas caras ao lançar a moeda selecionada. 1. Probabilidades das Moedas: - Moeda 1 (honesta): \(P(C) = \frac{1}{2}\) - Moeda 2 (honesta): \(P(C) = \frac{1}{2}\) - Moeda 3 (viciada): \(P(C) = \frac{3}{4}\) e \(P(K) = \frac{1}{4}\) 2. Probabilidade de Selecionar Cada Moeda: - Moeda 1: \(P(M_1) = \frac{1}{3}\) - Moeda 2: \(P(M_2) = \frac{1}{3}\) - Moeda 3: \(P(M_3) = \frac{1}{3}\) 3. Probabilidade de Obter Duas Caras: - Para a Moeda 1: \(P(2C | M_1) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\) - Para a Moeda 2: \(P(2C | M_2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\) - Para a Moeda 3: \(P(2C | M_3) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\) 4. Probabilidade Total: \[ P(2C) = P(2C | M_1)P(M_1) + P(2C | M_2)P(M_2) + P(2C | M_3)P(M_3) \] \[ P(2C) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3} \] \[ P(2C) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{9}{48} \] \[ P(2C) = \frac{2}{12} + \frac{9}{48} = \frac{1}{6} + \frac{3}{16} \] Para somar, precisamos de um denominador comum (48): \[ P(2C) = \frac{8}{48} + \frac{9}{48} = \frac{17}{48} \] ### Resumo das Respostas - A nova variância do tempo será \(\frac{1}{4} \operatorname{Var}(T)\). - A probabilidade de obter duas caras é \(\frac{17}{48}\).