Determine o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos π: 2x + y-2z+3=0e μ= { x=1+a+y y = 2+2a a - y, a ey reais. }

Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos dados, precisamos seguir alguns passos: 1. **Identificar os vetores normais dos planos**: - O plano π: \(2x + y - 2z + 3 = 0\) tem um vetor normal \( \vec{n_1} = (2, 1, -2) \). - O plano μ: \(x = 1 + a + y\) e \(y = 2 + 2a\) pode ser reescrito para encontrar o vetor normal. A forma geral do plano pode ser obtida a partir das equações paramétricas, mas para simplificar, podemos considerar que o vetor normal é perpendicular ao vetor que representa a direção do plano. 2. **Encontrar o vetor normal do plano μ**: - A partir das equações, podemos deduzir que o vetor normal do plano μ é \( \vec{n_2} = (1, -1, 0) \). 3. **Calcular o cosseno do ângulo entre os vetores normais**: - O cosseno do ângulo θ entre dois vetores \( \vec{a} \) e \( \vec{b} \) é dado por: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||} \] - Calculando o produto escalar: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (1)(-1) + (-2)(0) = 2 - 1 + 0 = 1 \] - Calculando as normas: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 4. **Substituindo na fórmula do cosseno**: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \] 5. **Calculando sete vezes o cosseno**: \[ 7 \cdot \cos(\theta) = 7 \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{7}{3\sqrt{2}} \] Portanto, o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos é \( \frac{7}{3\sqrt{2}} \).